Calcul analytique à partir de la variation de perméance

L’effort d’attraction du stator sur le rotor en fonction de l’excentration peut être estimé analytiquement en calculant la variation de perméance l’entrefer.

On considère pour cela que l’essentiel de l’énergie magnétique est stockée dans l’entrefer. Cette simplification se justifie si on a en tête que l’énergie magnétique se calcule à partir du produit de l’induction B par le champ H. En effet, en raison de la conservation du flux, l’induction (= densité de flux) est du même ordre de grandeur dans les différentes parties du circuit magnétique ; par contre, le champ magnétique H est considérablement plus faible dans le circuit fer, puisque B=μ*H et que le fer présente une perméabilité magnétique μ beaucoup plus grande que l’air.

Dans le cas d’un rotor à aimants montés en surface, la situation se complique un peu. En effet, les aimants néodyme ont une très faible perméabilité (très voisine de celle de l’air). Il faut donc considérer non seulement l’entrefer mécanique (lame d’air entre rotor et stator), mais aussi le volume occupé par les aimants : du point de vue magnétique, on considère que l’entrefer est en fait la somme des deux.

Connaissant la force magnétomotrice et la perméance d’entrefer en chaque point de l’entrefer et à chaque instant, on peut exprimer la densité d’énergie magnétique.

L’intégration de celle-ci sur le volume de l’entrefer donne l’énergie magnétique en fonction du temps et des paramètres géométriques, en particulier l’excentration du rotor.

Enfin, le gradient de l’énergie magnétique par rapport à l’excentration donne la force correspondante.

Dans le cas d’un rotor lisse (sans aimants), par exemple d’un moteur asynchrone, on obtient les formules (moyennant un développement limité de l'intégrale au voisinage de 0) :

NB : le calcul de la force magnétique passe stricto sensu par celui de la co-énergie magnétique. Mais dans le cas d’un matériau linéaire, énergie et co-énergie magnétiques sont égales.

Calcul par éléments finis et saturation

La formulation analytique ci-dessus néglige l’énergie magnétique présente dans le fer. Cette hypothèse est valable si la perméabilité relative du fer est très grande. Ce qui n’est plus le cas lorsque le circuit magnétique est saturé.

En pratique, l’absence de saturation est rarement vérifiée, et le comportement du matériau n’est plus linéaire.

On doit alors passer par un calcul numérique par éléments finis.

Une conséquence pas forcément intuitive de la saturation : la variation de co-énergie magnétique avec l’excentration est la somme de sa variation dans l’entrefer et de sa variation dans le fer. Dans ce dernier, s’il est saturé, une variation de champ magnétique provoque une faible variation de flux : la variation de co-énergie magnétique est donc diminuée en raison de la saturation. Autrement dit : une machine saturée présente une attraction magnétique radiale plus faible qu’une machine non saturée, toutes choses égales par ailleurs.

Concrètement, cela signifie que :

• la formule analytique surestime souvent largement la valeur de la force, comme le montre la comparaison avec un calcul FEA

• sauf pour de faibles valeurs de courant, la force augmente de moins en moins avec le courant.

Efforts sur les paliers

Cette force d’attraction du stator dépend directement de l’excentration effective dans la machine. Celle-ci est la somme des défauts géométriques, qu’une chaine de cotes en 3 dimensions peut permettre d’appréhender (en alliant courage et géométrie !), ...mais aussi des déformations provoquées par les efforts exercés sur le stator, dont la force d’attraction !

Dans les cas où on ne peut négliger la déformation de la machine (souvent celle de l’arbre rotor), on doit donc résoudre une équation d’équilibre mécanique :

• pour trouver l’excentration effective dans la machine et s’assurer que le rotor ne touche jamais le stator, même en cas d’entrefer minimum.

• pour calculer l’effort résultant sur les paliers du rotor

Raideur négative

A cette vérification statique, on se doit d’ajouter une vérification dynamique, ou plus précisément un calcul modal, pour déterminer les vitesses critiques du rotor (dans les machines de petite à moyenne puissance, on s’intéresse principalement au premier mode qu’on veut nettement supérieur à la vitesse de rotation maximale).

Or la force d’attraction magnétique dépend précisément de la déformation du rotor.

Il est donc naturel de la représenter dans l’équation modale, comme dans l’équation statique mentionnée plus haut, par une raideur. Mais, à la différence d’un ressort, qui exercerait une force de rappel centripète proportionnelle à l’excentration, l’attraction magnétique exerce une force centrifuge croissante avec l’excentration. On doit donc la considérer sous la forme d’une raideur négative.

Elle vient se soustraire à la raideur de rappel de l’arbre sollicité en flexion par le balourd résiduel du rotor.

L’attraction magnétique a donc pour conséquence une diminution des vitesses critiques, qui sont les fréquences propres de flexion de l’arbre rotor monté sur ses paliers.

Les calculs modaux sont en général réalisés par éléments finis. Mais la prise en compte d’une raideur négative dans les logiciels élements finis n’est pas toujours aisée (les éléments ressorts n’acceptent en général que des raideurs positives, pour éviter au solveur le risque d’une matrice de raideur singulière).

Décomposition harmonique

Il faut bien avoir en tête que l’attraction magnétique n’est en général constante ni en direction, ni en amplitude (voir image).

Elle dépend de la variation de l’excentration en fonction de la position du rotor, mais aussi des fluctuations de force magnétomotrice (jamais parfaitement sinusoïdale) et de perméance d’entrefer.

Suivant l’architecture du bobinage, les variations périodiques d’excentration peuvent à leur tour provoquer des tensions induites parasites dans le bobinage qui engendrent des fluctuations suplémentaires de force magnétomotrice.

Ce type de phénomène a été étudié en détail dans Rotor instability due to electromechanical interactions in synchronous machines, Electrical Engineering 105, 2023 

Lorsqu’on s’intéresse en détail au comportement vibratoire d’une machine réelle, et qu’on dispose d’un modèle éléments finis dans lequel on a introduit une excentration réaliste (pas si simple en pratique…), il est utile d’observer la décomposition harmonique de l’effort magnétique, pour s’assurer que les harmoniques principales ne coïncident pas avec les modes propres du rotor.

Efforts sur le rotor et réaction du stator

Les calculs présentés ci-dessus expriment la résultante des efforts magnétiques sur le rotor. Le stator voit naturellement une résultante opposée.

Mais lorsqu’on s’intéresse aux efforts vus par le stator, c’est rarement pour estimer sa résistance mécanique aux efforts magnétiques, mais plutôt pour en connaître les déformations de faible amplitude qui génèrent un rayonnement acoustique. Ainsi, on est en général intéressé d’avoir non une force résultante globale, mais la répartition des efforts. On extrait alors un champ de pression magnétique en chaque point de l’entrefer en fonction du temps, qui, après décomposition en séries de Fourier, permet d’estimer la réponse vibratoire du stator à l’excitation magnétique.