Sollicitations sur un rotor

Un rotor de machine électrique est soumis à différentes sollicitations mécaniques :

contraintes thermomécaniques, dues aux dilatations thermiques différentes des parties qui le constituent (un rotor peut atteindre couramment 180°C en fonctionnement)

vibrations et chocs, en général dans des applications embarquées

efforts magnétiques

effort centrifuge

• Les contraintes thermomécaniques dépendent des matériaux qui constituent le rotor : elles sont particulièrement importantes dans le cas d'un rotor à cage d'écureuil qui associe une masse de tôles ferrromagnétiques et une cage en aluminium ou en cuivre (voir article spécifique).

• Les vibrations et les chocs subis par le rotor proviennent de l'environnement et doivent être pris en compte dans le cas d'applications embarquées, sachant qu'ils peuvent être partiellement filtrés par les paliers. Les vibrations induites par la machine elle-même restent négligeables dans la mesure où le rotor est équilibré pour ne pas dépasser les niveaux vibratoires normalisés.

• Les efforts magnétiques sont presque toujours négligeables car la pression magnétique à la surface du rotor est d'un ordre de grandeur inférieur aux contraintes mécaniques ou thermomécaniques : en effet, l'induction d'entrefer ne peut guère dépasser 2Tesla en raison de la saturation du circuit magnétique, et par conséquent la pression magnétique vaut au plus 1/2/pi*1e7 Pa, soit 3,2MPa.

• L'effort centrifuge, par contre, est proportionnel au carré de la vitesse périphérique du rotor. Pour accroître la puissance massique d'un moteur électrique, on cherche à le faire tourner aussi vite que possible. L'effort centrifuge devient ainsi prépondérant, et détermine alors le dimensionnement du rotor.

Dimensionner un rotor à l'effort centrifuge impose a priori de connaître non seulement la vitesse maximale qu'il atteindra, mais aussi les variations de vitesses subies au cours de son fonctionnement, afin de prendre en compte l'endommagement par fatigue.

• Dans l'idéal, lorsque l'application est bien connue, on utilise le profil de vitesse de la machine, c'est à dire une représentation de la vitesse en fonction du temps. On définit une période de fonctionnement représentative. On en extrait ensuite les amplitudes de variation de vitesse en fonction de leur fréquence au moyen d'une méthode de comptage de cycles (la plus connue est celle du Rain-Flow). Lorsqu'une machine doit couvrir de nombreuses applications différentes, avec des profils de vitesse très différents, il est rare qu'on dispose d'assez d'informations sur les applications pour définir un profil de vitesse global. On doit faire alors des hypothèses plus ou moins simplificatrices.

• Si on connaît assez les applications, on détermine celle qui exige le plus grand nombre de cycles de vitesse, et on en déduit une amplitude 0-vmax et un nombre total de cycles correspondant à la durée de vie exigée.

• Sinon, le dimensionnement se fait sur l'hypothèse que la vitesse maximale de fonctionnement normal peut être exceptionnellement dépassée de 20%. Cette hypothèse a l'inconvénient d'imposer au rotor de résister à une contrainte exceptionnelle 44% supérieure à la contrainte nominale. Mais elle simplifie grandement le dimensionnement comme on va le montrer.

  
  

Types de dimensionnement

L'éclatement d'un rotor sous l'effort centrifuge peut être causé par

• un dépassement de la limite élastique

• la fissuration des zones fortement contraintes en raison de déformations locales cycliques excessives

• la rupture au bout d'un grand nombre de cycles de contrainte, même si celles-ci restent à un niveau inférieur à la limite élastique.

Ces 3 modes de défaillance, entre lesquels les frontières sont quelque peu arbitraires, correspondent à des méthodes de dimensionnement différentes : quasistatique, en fatigue à faible nombre de cycles (oligocyclique) et en fatigue à grand nombre de cycles.

Le dimensionnement quasistatique compare la contrainte dans le rotor à la limite élastique du matériau. Il suffit d'un seul dépassement de cette limite élastique pour que le rotor soit irréversiblement endommagé.

Le dimensionnement en fatigue oligocyclique compare la déformation locale à une courbe matériau représentant l'amplitude de déformation admissible en fonction du nombre de cycles.

Le dimensionnement en fatigue à grand nombre de cycles (typiquement >1e4) compare la contrainte locale à une courbe matériau représentant l'amplitude de contrainte admissible en fonction du nombre de cycles (courbe S-N ou courbe de Wöhler).

Lorsqu'on dimensionne un rotor à la vitesse exceptionnelle de 1,2xvitesse_nominale, on veut :

1.44xsigma_nom<Re

c'est à dire :

sigma_nom<Re/1.44

Pour de la tôle magnétique, c'est à dire de l'acier doux, on a :

sigma_w=0.45xRm. (FKM)

et Rm>1.15*Re (valeur conservative. Pour de nombreuses nuances de tôles, l'écart est nettement supérieur à 15%)

d'où Re< sigma_w/0.45/1.15

En remplaçant Re dans l'inégalité initiale, on obtient:

sigma_nom<sigma_w/0.45/1.15/1.44

c'est à dire

sigma_nom/2<0.67x sigma_w

sigma_nom/2 est l'amplitude de contrainte (la moitié de la valeur crête à crête), souvent notée sigma_a, qui est déterminante pour la tenue en fatigue. Multipliée par le facteur d'entaille Kf, elle doit rester inférieure à la limite de fatigue sigma_w.

On voit que cette condition de tenue en fatigue est automatiquement vérifiée si le dimensionnement quasistatique l'est, pourvu que Kf reste inférieur à 1.5. Ceci est presque toujours le cas pour les tôles d'acier doux qui sont peu sensibles à l'entaille (voir S. Koechlin, FKM Guideline : strengths, limitations and experimental validation, 6th Fatigue Design conference, 2015 ).

Le dimensionnement quasistatique à la vitesse exceptionnelle de 20% supérieure à la vitesse nominale garantit donc automatiquement la tenue en fatigue, quels que soient les cycles de vitesse balayés entre vitesse nulle et vitesse nominale.

Estimation des contraintes

Les rotors de machines électriques sont constitués d'un empilement de tôles ferromagnétiques disposées perpendiculairement à l'axe de rotation. Ceci a deux conséquences.

Premièrement, la structure peut être modélisée en 2 dimensions dans le plan des tôles. Celles-ci sont ainsi calculées en contrainte plane. Une modélisation 3D n'a de sens que lorsqu'on s'intéresse au partie massives situées aux extrémités de la masse rotorique (comme les anneaux de court-circuit ou les têtes de bobines, suivant le type de machine).

Deuxièmement, on doit tenir compte de l'effet statistique de l'empilement (voir Image 1). La contrainte admissible par une tôle n'est pas identique à celle d'un empilement de tôles. Ceci provient du fait que la résistance en fatigue présentant une forte dispersion, elle est caractérisée par une distribution statistique: chaque tôle présente une résistance mécanique différente, voisine de la valeur moyenne estimée par calcul ou essais. Si on considère les tôles sollicitées en parallèles, et reliées les unes aux autres par des barreaux aimantés ou les barres de cage d'écureuil, l'empilement dans son ensemble présente une résistance mécanique qui est globalement inférieure à la valeur moyenne d'une tôle seule (rapportée à la longueur de fer). On montre que le rapport entre les deux (coefficient d'empilement) ne dépend que du coefficient de variation de la limite de fatigue.

Un autre effet à prendre en compte est celui des précontraintes de montage : un arbre monté serré, ou des aimants insérés en force induisent des précontraintes statiques qui peuvent modifier sensiblement les contraintes résultantes en fonctionnement. Cet effet peut être utilisé délibérément pour accroître la résistance en fatigue d'un rotor.

Effet d'entaille

La photo en tête de cet article montre la rupture des tôles sur un rotor sollicité en fatigue par des cycles de vitesse. On remarque que les ruptures ne se sont pas toutes produites à proximité du rayon de raccordement, là où se concentrent pourtant les contraintes.

La raison en est double : d'abord l'entaille n'est pas très vive (Kt=1.37) , comme on peut s'en convaincre au vu du grand rayon de raccordement. Ensuite, comme l'ont montré des travaux de recherche (voir références), le découpage par poinçon et matrice, tel qu'il est pratiqué sur les produits industriels, engendre des défauts sur le bord de la tôle qui constituent autant de sites d'amorçage de fissures. Sur un certain nombre de tôles de ce rotor, les défauts situés ailleurs que dans l'entaille ont été plus nocifs que la concentration de contrainte dans le rayon de raccordement.

Méthodes de dimensionnement

Le graphique ci-joint compare les résultats d'essais d'endurance sur rotors aux durées de vie calculées par différentes méthodes.

Les prédictions données par FKM montrent une bonne estimation des résultats expérimentaux. On voit que la durée de vie expérimentale se situe environ au milieu des durées de vies prédites par la méthode de gradient traditionnelle (Stieler) et la méthode plus récente apparue dans l'édition 2012 (Material-Mechanical).

Un calcul purement local (basé ici sur la comparaison de la contrainte de traction au bord, avec correction de contrainte moyenne selon Gerber) est apparaît très conservatif.

On peut ajouter qu'un critère multiaxial (comme Crossland ou Dang Van), se ramène presque toujours dans le cas d'une tôle mince à un critère uniaxial. Sauf dans les cas où une très forte plastification locale intervient, la zone critique est située sur l'arête de la tôle, où le tenseur de contrainte est uniaxial. Les critères multiaxiaux purements locaux sont par conséquent beaucoup trop conservatifs.

Références

H. Dehmani, Ch. Brugger, Th. Palin-Luc, Ch. Mareau, S. Koechlin, Fatigue behavior of punched thin Fe-Si sheets, 15th International ASTM/ESIS Symposium on Fatigue and Fracture Mechanics, 2015

H.,Ch. Brugger, Th. Palin-Luc, Ch. Mareau, S.Koechlin, Study of the contribution of different effects induced by the punching process on the high cycle fatigue strength of the M330-35A electrical steel, 21st European Conference on Fracture, ECF21, 2016

FKM (Forschungskuratorium Maschinenbau), Analytical Strength Assessment of Components, VDMA Verlag, 6th revised edition, 2012

S. Koechlin, FKM Guideline : strengths, limitations and experimental validation, 6th Fatigue Design conference, 2015